Trong toán học, đạo hàm biểu diễn mối liên hệ giữa tập hợp các giá trị đầu vào với tập hợp các giá trị đầu ra, mà ở đó mỗi giá trị đầu vào chỉ tương ứng duy nhất một giá trị đầu ra. Giả sử, khi có một giá trị đầu vào là x, lập tức có thể xác định một giá trị đầu ra là y. Như vậy, y là giá trị phụ thuộc vào x; hay nói cách khác, y chính là đạo hàm của x và được viết dưới dạng ký hiệu: y = f(x).

Về cơ bản, đạo hàm hoạt động như một chiếc máy; tức là, lấy vào một vật thể, rồi thì dựa vào vật thể này cho ra một vật thể khác. Tuy nhiên, để diễn tả theo ngôn ngữ toán học, các nhà toán học đã trình bày nó dưới dạng x trong tập hợp X tương ứng duy nhất một y trong tập hợp Y để tạo thành cặp thứ tự (x, y) mà có thể trình bày trên hệ thống tọa độ Descartes. Họ đã ký hiệu f: X → Y như cách biểu thị rằng f là đạo hàm từ tập hợp X sang tập hợp Y. Ở đây, tập hợp X được gọi là miền (domain) và tập hợp Y được gọi là dãy (range) của đạo hàm f.

Ví dụ, một người mua số lượng sách là x, và mỗi cuốn sách là 30 nghìn đồng cùng với tiền vận chuyển là 25 nghìn đồng. Như vậy, chi phí y mà vị ấy phải thanh toán là: y = 30x + 25. Giả sử, nếu vị ấy mua 5 cuốn, chi phí y vị ấy phải thanh toán là 175 nghìn đồng. Tuy nhiên, nếu mua 1 cuốn, chi phí thanh toán chỉ là 55 nghìn đồng. Đến đây ta có xác lập rằng chỉ cần biết x là bao nhiêu cuốn, thì có thể tìm ra chi phí thanh toán y.

Đạo hàm cũng được dùng phổ biến trong tất cả các ngôn ngữ lập trình. Tuy nhiên, đạo hàm ở đây chỉ một khối code (hay bày tỏ) mà có thể dùng đi dùng lại nhiều lần. Cú pháp của một đạo hàm trong Python là như vậy:

def tên_đạo_hàm (danh sách các tham số):

bày tỏ 1

bày tỏ 2

Quan sát cú pháp này, có thể nhận thấy rằng để xây dựng một đạo hàm, đầu tiên cần xác định tên đạo hàm bằng việc dùng từ khoá def. Tiếp đến, cần một dấu ngoặc đơn để định dạng các tham số (hay giá trị) đầu vào. Các tham số này chính là những biến sẽ được dùng trong đạo hàm. Rồi thì, cần là một dấu hai chấm ( : ) để bắt đầu đạo hàm, và tất cả hàng bày tỏ bên trong nó phải được thụt vào. Với việc dùng lệnh print (), hàng bày tỏ thụt vào đầu tiên của đạo hàm sẽ trình bày giá trị đầu ra. Và cuối cùng, để kết thúc hàm số, chỉ cần dừng việc thụt vào của những bày tỏ, hoặc là dùng lệnh return ().

Trùng trùng duyên khởi trong Toán học

Bây giờ, để hiểu rõ hơn làm thế nào một đạo hàm trong Python làm việc, chúng ta thử quan sát ví dụ đơn giản như sau:

def bình_phương(x, y):

return (x*x + 2*x*y + y*y)

Giả sử, khi gọi tên đạo hàm và nhập x = 2 và y = 3 như vậy: bình_phương (2, 3), thì kết quả là 25. Tuy nhiên, khi nhập x = 5 va y = 6, thì kết quả là 121.

Rõ ràng rằng, bản chất của đạo hàm trong toán học chính là phản ảnh mối quan hệ nhân quả giữa hai hiện tượng (tức là, hiện tượng này tác động, làm điều kiện cho hiện tượng kia tồn tại). Trong ngữ cảnh này, nguyên lý Duyên Khởi trong Phật giáo có thể hiểu như là một đạo hàm. Lý do là vì bản chất của Duyên Khởi cũng phản ảnh mối liên hệ nhân quả giữa hai hiện tượng thông qua một công thức ngắn gọn như sau:

“Khi cái này có, thì cái kia có; do sự tồn tại của điều này nên điều kia tồn tại. Ngược lại, khi cái này không, thì cái kia cũng không; do sự vắng lặng của điều này nên điều kia cũng vắng lặng.”

Tức là, khi có vô minh (không hiểu rõ nội tâm), nhận thức, cảm xúc trở nên hỗn độn; vì vậy, dẫn đến buồn bực, khó chịu và đau khổ trong tâm lý. Trái ngược, khi không còn buồn bực, khó chịu và đau khổ trong tâm lý, nhận thức, cảm xúc trở nên quân bình; nhờ đó, có được một nội tâm trong sáng, nhẹ nhàng.

Như vậy, hạnh phúc hay đau khổ là do một người quyết định. Nếu đầu vào của vị ấy là vô minh, đầu ra chắc chắn là đau khổ. Ngược lại, nếu đầu vào là sự hiểu rõ nội tâm, đầu ra chắc chắn là hạnh phúc an bình. Và đây là lý do mà Đức Phật đã chỉ rõ nguyên nhân của đau khổ chính là vô minh và ái dục; còn điều kiện của hạnh phúc an bình (Niết Bàn) chính là việc thực hành Bát Chánh Đạo được dẫn dắt bởi sự hiểu rõ (Chánh Kiến) như là yếu tố đầu tiên.

Tóm lại, có thể xem nguyên lý duyên khởi trong Phật giáo như là đạo hàm toán học: y = f(x). Vì thế, sự tu tập trong Phật giáo gần giống với mô hình học giám sát (supervised learning) trong máy học (machine learning), tức là chỉ cần giám sát tập dữ liệu đầu vào (minh hay vô minh), để rồi có thể dự đoán kết quả đầu ra là gì.